| 单词 | 变分原理与广义解 |
| 释义 | 2. 变分原理与广义解 定理 设A是正定算子，u是方程Au=f在MA上的解的充分必要条件是： u使泛函 F(u)=(Au,u)－2(f,u) 取极小值. 上述将边值问题化为等价的求泛函极值问题的方法称为能量法.在算子的定义域不够大时，泛函F(u)的极值问题可能无解.不过对于正定算子，可以开拓集合MA，使在开拓了的集合上，泛函的极值问题有解.为开拓MA，在MA上引进新的内积[u,v]=(Au,v)，定义模||u||2=[u,u]=(Au,u)，在模||u||的意义下，补充极限元素，得到一个新的完备希尔伯特空间H0，在H0上，泛函F(u)仍然有意义，而泛函的极值问题有解.但必须注意，此时使泛函F(u)取极小的元素u0不一定属于MA，因此它不一定在原来的意义下满足方程Au=f及边界条件.称u0为广义解. |
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