单词 | 勒贝格积分 |
释义 | 2、勒贝格积分 [有界函数的勒贝格积分] 在有界区间内给定一个有界可测的实函数,在()的变化范围内插入分点: (1) 并用表示使在内的点x所构成的集,对每个分法(1)的序列,当时,和式趋于唯一的有限极限I,记作 这个量称为在内按勒贝格意义的定积分,又称为勒贝格积分,称在内是可积(在勒贝格意义下,下同)的. [无界函数的勒贝格积分] 若在有界区间内是无界可测函数,则勒贝格积分定义如下: 式中 [在无界区间上的勒贝格积分] 若对一切存在,则定义勒贝格积分如下:
同样可以定义和. [在一个点集上的勒贝格积分] 上述有界和无界函数的勒贝格积分的定义可推广到任一个可测集S上的勒贝格积分. 还可推广到n维空间的区域或可测集上的多重勒贝格积分. [勒贝格积分的存在性与性质] 1o每个有界可测集函数在任一有界可测集上是可积的,在一可测集S上的可积函数在S的每个子集上都是可积的. 2o勒贝格积分存在的充分必要条件是:勒贝格积分存在. 3o在一个测度等于零的集上的勒贝格积分等于零. 4o设为一组可数的互不相交(即)的可测集,假定在和上的勒贝格积分都存在,则 5o连续性定理 设和一个正的函数在一个可测集S上都是可测的,并且对一切n与S中一切x,不等式 几乎处处成立;又设对S中几乎一切x,使成立,则 存在,且 6o勒贝格基本定理 设S是一个可测集,不一定有界. 若 (i) 都是S上非负的可测函数; (ii) 则 |
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