3. 拉普拉斯方程
研究重力场、静力场、磁场以及一些物理现象（如振动、热传导、扩散）的平衡或稳定过程，通常得到椭圆型方程，最典型的方程为拉普拉斯方程
Δu=0
及泊松方程
Δu=ρ
式中ρ为已知函数，Δ为拉普拉斯算子，
[圆或球的狄利克莱问题解的泊松积分] 当区域为圆或球时，分别采用极坐标(r,)或球坐标(r,θ,)较为方便.
Δu=0的极坐标形式为
Δu=0的球坐标形式为
狄利克莱问题解的泊松积分为
1° 区域是圆时，Δu=0, u|r=a=
，解为泊松积分
式中为已知连续函数,
.
2° 区域是球时，Δu=0, u|r=a=
，解为泊松积分
式中为已知连续函数，
[调和函数的性质] 二维拉普拉斯方程的连续解称为调和函数，它具有以下重要性质：
1° 设函数u(x,y)在以S为边界的有界区域D内调和，在
上有连续一阶偏导数，则
式中
为外法向导数.
2° 算术平均值定理 设函数u(x,y)在圆的内部调和，在闭圆上连续，则u(x,y)在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均值.
3° 每一个调和函数u(x,y)对x,y无穷次可微.
4° 哈拉克第一定理（一致收敛定理） 设{uk(x,y)}, (k=1,2
)在有界区域D内调和，在
上连续，如果uk(x,y)在D的边界上一致收敛，则在D内也一致收敛，并且极限函数在D内调和.
5° 哈拉克第二定理（单调性定理） 设调和函数列{uk(x,y)},(k=1,2,…)在D的某一内点收敛，且对于任意k，
uk+1(x,y)≥uk(x,y)
则uk(x,y) 在D内处处收敛于某调和函数，同时在D的每一有界闭子区域上一致收敛.
6° 刘维尔定理 如函数u(x,y)在全平面上调和且不是常数，则它不可能有上界和下界.
7° 可去奇点定理 设u(x,y)在A点的一个邻域（除A点外）调和且有界，但在A点没有定义，则可定义函数u(x,y)在A点的值，使u在整个A点的邻域（包括A点）内是调和函数.
[李雅普诺夫闭曲面与内、外边值问题] 设S为En的有限闭曲面，如果满足下列条件，那末S称为李雅普诺夫闭曲面：
(i) 曲面到处有切面.
(ii) 存在常数d>0，对曲面上每一点P，可作一个以P为中心、d为半径的球，使曲面在此球内的部分和任意一条与P点法线平行的直线相交不多于一点
(iii) 曲面上任意二点P1及P2的法线的夹角γ(P1,P2)满足
式中A,δ为正常数，0<δ≤1，
是点P1与P2之间的距离.
(iv) 从空间任意一点P0看曲面的任一部分σ的立体角有界，即
||≤k （k为常数）
（从点P0看曲面S的立体角为
式中
表示矢量
，NP表示S在点P的外法线矢量，dSP表示点P的面积元素.）
设D为En的有界区域，其边界S为李雅普诺夫闭曲面.求在D内满足
Δu=0
而在S 上满足给定边界条件的解称为内边值问题；求在D外满足Δu=0而在S上满足给定边界条件的解称为外边值问题.
[狄利克莱问题与诺伊曼问题的解]
狄利克莱问题 Δu=0，
诺伊曼问题 Δu=0，
式中MS∈S，
为S上的已知连续函数，
为外法向导数.
1° 狄利克莱问题的解可表示为面积分
.
式中v(P)称为面密度，面积分u(M)称为双层位势，rPM为点M与变点P之间的距离，rPM为矢量 
，NP为S在点P的外法线矢量，v(M)满足第二类弗雷德霍姆积分方程(第十五章§1)：
(i) 内边值问题
(ii) 外边值问题
2° 诺伊曼问题的解可表示为面积分
式中(P)称为面密度，面积分u(M)称为单层位势，(P)满足第二类弗雷德霍姆积分方程：
(i) 内边值问题
(ii) 外边值问题
定理： 狄利克莱的内外边值问题及诺伊曼的外边值问题有惟一解，而诺伊曼的内边值问题解存在的充分必要条件是：
[泊松方程] 在区域D内，泊松方程Δu=ρ（ρ为已知连续函数）有特解：
三维： 体势位
二维： 对数势位
式中rPM为点M与变点P之间的距离.
如果已知泊松方程的一个特解U(M)，则=u－U满足Δ=0，从而泊松方程的边值问题可化为拉普拉斯方程相应的边值问题.