2. 双曲型方程的黎曼方法

    考虑拉普拉斯双曲型方程

    [古沙问题的特征线法]  古沙问题是

设a(x,y),b(x,y),c(x,y),f(x,y)为连续函数；连续可微且，令

则古沙问题化为下面积分方程组的求解问题

    它可用逐次逼近法求解，显然x=x₀,y=y₀为拉普拉斯双曲型方程的特征线，所以此法也称为特征线法.

    [广义柯西问题的黎曼方法]  广义柯西问题是

    设a(x,y),b(x,y),c(x,y), ₁(x)及(x)为连续可微函数，且'(x)≠0，而f(x,y)及₂(x)为连续函数.

    设M(x₀,y₀)不是y=(x)上的点，过点M作特征线x=x₀,y=y₀交y=(x)于P及Q，记曲边三角形PMQ为D（图14.6），在D上用格林公式（本节，四）得

    设v(x,y;x₀,y₀)为下面古沙问题的解：

那末广义柯西问题解的黎曼公式为

式中v(x,y;x₀,y₀)称为黎曼函数，这个方法称为黎曼方法.

    一般可用特征线法求黎曼函数.但对常系数偏微分方程

     （c为常数）

也可用下法求黎曼函数.设v=v(z)，，则方程化为贝塞耳方程

黎曼函数就是满足此贝塞耳方程及条件v(0)=1的零阶贝塞耳函数，

对常系数的拉普拉斯双曲型方程通过变换可化为

的形式，它的黎曼函数就是上式.