四、 常系数非齐次线性微分方程的算子解法与方程组的算子解法（消去法）
[微分算子与逆算子] 记
称D,D2,…,Dn为微分算子.一般地引进微分算子
（a1,a2,…,
an是常数）规定它的意义是
还引进微分算子的逆算子，Dk的逆算子记为
，规定它的意义是
(k为正整数)
P(D)的逆算子记为
，它满足条件
注意，
的结果不是唯一的，而是一族函数.
[微分算子的简单性质与运算公式]
| 微分算子 | 逆算子 |
| 1o 若c1，c2，…ck为常数，则 P(D)[c1f1(t)+ c2f2(t)+… + ckfk(t)] =c1P(D)f1(t)+ c2P(D)f2(t)+… + ckP(D)fk(t) （线性） 2o 若P（D）= P1（D）·P2（D），则 P(D)f(t) = P1(D)[P2(D)f(t)] = P2(D)[P1(D)f(t)] (交换律) 3o P(D)eλt = eλtP(λ) 4o
| 若c1，c2，…ck为常数，则
（线性） 若P（D）= P1（D）·P2（D），则 （交换律）
(P(λ)≠0)
|
| 5o 6o (位移定理) 7o |
(位移定理) 设
按以下方法求得: 将P(D)(按D的升幂排列),依一般的多项式除法规则去除1,在第k+1步得到的商,当商中得到k次多项式时,除法停止,这k次多项式即Qk(D). |
上表中左栏各等式的意义是通常的，而右栏各等式的意义则是等号两边的函数族相同.
[用算子解法求常系数非齐次线性微分方程的特解]
1° 方程P(D)x=fk(t)，其中fk(t)是t的k次多项式.
分两种情形：
(i) P(0)≠0.依上表公式7°得
(ii) P(0)=0.此时P(D)=Q(D)Dr（整数r≥1），而Q(0)≠0.依上表公式2°有
设
，则
2° 方程
（当fk(t)为常数时P(λ)
）.
依上表公式6° ，一个特解为
3° 方程P(D)x=costfk(t)或P(D)x=sintfk(t).
考虑辅助方程
它与方程2°同类型，设它的一个特解是
那末方程 
有一特解
x(t)=x1(t)
而方程 
有一特解
x(t)=x2(t)
4° 方程P(D2)x= 
或P(D2)x=
.
若P(
)≠0，则由上表公式4°，5°得
或
若P(
)=0,则有正整数r和多项式Q(Q(
)≠0)使
可按方程1° (ii)的方法处理.
[用算子解法（消去法）求线性微分方程组的解] 消去法是解代数方程组的有效方法之一.引进微分算子
之后，同样适用于解线性微分方程组.下面用具体例子来说明这个方法.
设已给线性微分方程组
应用微分算子，上面方程组可写成
把这个方程组看成两个未知数x1,x2的代数方程组.利用消去法，依次解出x1,x2.
即
先解(1'),为此先求其对应的齐次方程
的通解.特征根为
λ1=1,λ2=i,λ3=
所以齐次方程的通解为
(
为任意常数)
再用算子解法，求方程(1')的一个特解
由前表公式7°有
由前表公式3°有
得到方程(1')的特解
最后得出方程(1')的通解
为求出x2 (t)，(1)减(2)得
用x1(t)代入即得
