§3 随机过程
一、一、一般随机过程
[随机过程的定义] 对于每个tÎT(T 是某个固定的实数集),x (t)是个随机变量，就把这样的随机变量族{x (t)，tÎT}称为随机过程。随机过程一次实验的结果是定义在T上的函数，称为随机过程的一次实现。当参数t的变化范围T是个整数集合，则称
x (t), t=0,±1,±2,L
为随机序列。
当T只包含一个或有限个元素，{x (t)，tÎT}就是概率论中研究过的随机变量或随机矢量。
[随机过程的有穷维分布函数族] 设{x (t)，tÎT}是随机过程，对任意的正整数n及任意的t1, t2, L，tnÎT,随机变量x (t1) ,x (t2) ,L，x (tn)的联合分布函数为
称
为随机过程的有穷维分布函数族。它不仅刻划了对应于每一个t的随机变量x(t)的统计规律性，而且也刻划了各个随机变量x(t)之间的关系，从而完整地描述了随机过程的统计规律性。
[随机过程的统计参数] 设{x (t)，tÎT}是个复值随机过程(指它的实部和虚部都是实的随机过程)。主要的统计参数有：
1° 均值函数 对每个tÎT,随机变量x(t)的数学期望（均值）
称为随机过程的均值函数，式中Ft(x)是x(t)的分布函数。
2° 协方差函数与方差函数 对任意的s, tÎT,
称为随机过程的协方差函数(或相关函数)，式中m(t)是均值函数。
特别地，当s=t,则称
为随机过程的方差函数(或自相关函数)。
3° 高阶矩 若对任意的正整数n，非负整数m1 , m2,L , mn , m= m1+m2+L+mn及任意实数t1,t2,L,tn，随机变量
的数学期望存在，则
称它为x (t)在t1,t2,L,t n矩的一个m阶矩。
[随机过程的均方连续性] 设{x (t)，tÎT}是一随机过程，t0ÎT,如果
即 
则称x (t)在t=t0是均方连续的，式中l.i.m.表示均方收敛。如果x(t)对于任意tÎT都是均方连续，就称x (t)在T上是均方连续的。
随机过程{x (t)，tÎT}的如下三命题是等价的：
1° 随机过程{x (t)，tÎT}在T上均方连续；
2° 随机过程{x (t)，tÎT}的协方差函数R(s,t)(s,tÎT)关于s,t是连续的；
3° 随机过程{x (t)，tÎT}的协方差函数R(s,t)(s,tÎT)在对角线s=t上关于s,t是连续的。
下面介绍几种特殊类型的随机过程：
[独立随机过程] 若对任意的正整数n和任意的t1,t2,LtnÎT,随机变量x(t1),x(t2),L,x (tn)是相互独立的，即
则称{x (t)，tÎT}是独立随机过程。
[正态过程] 若对任意的正整数n和任意的t1,t2,L,tnÎT,随机变量x (t1),x (t2),L,x (tn)的联合分布总是正态的，即
则称{x (t)，tÎT}是正态（或高斯）过程，式中Rjk=R(j,k),(Rjk)称为协方差矩阵;(Rjk)是(Rjk)的逆矩阵。
[马尔科夫过程] 若对任意的n=1,2,L和任意的t0,t1,L,tnÎT(其中t0<t1<L<tn)以及任意的实数x, y，等式
P{x (tn)≤y|x (tn-1)=x,x (tn-2)=xn-2,L,x (t0)=x0}=P{x (tn)≤y|x (tn-1)=x}
对所有的x (tn-1),L, x (t0)成立，则称{x (t)，tÎT}是马尔科夫过程，简称马氏过程。
[时齐马尔科夫过程] 设{x (t)，tÎT}是马尔科夫过程，若对任意的t1ÎT,t2ÎT
(t1<t2),条件分布
即条件分布F(t1,x;t2,y)只依赖于t2-t1,x,y,则称{x (t)，tÎT}是一个时齐(对时间齐次地)的马尔科夫过程。
[具有独立增量的随机过程] 若对
及任意一组
，其中
），随机变量
，
，¼，
是相互独立的，则称
是个具有独立增量的随机过程。
[具有平稳增量的随机过程] 若对任意的t1,t2ÎT和任意h(t1+h,t2+hÎT)，随机变量
x (t2+h)
(t1+h)与x(t2)
(t1)
遵从相同的概率分布，则称
是具有平稳增量的随机过程。
[泊松过程] 设{x (t)，0≤t<∞}是具有平稳独立增量，取非负整数值的随机过程。如果对于任意t (0≤t<∞),关系式
(k=0,1,2,L)
成立(其中λ>0为常数)，则称{x (t)，0≤t<∞}为泊松过程。
[维纳过程] 若随机过程{x (t)，0≤t<∞}满足P(x (0)=0)=1,具有平稳独立增量，并且随机变量x (t)的分布密度函数是
则称{x (t)，0≤t<∞}是维纳过程或布郎运动过程。
[平稳过程] 若对于n=1,2,L,任意tmÎT(m=1,2,L,n)及任意的τ(tm+τÎT,m=1,2,L,n)，等式
成立，则称{x (t)，tÎT}是平稳过程(狭义的平稳过程)。