单词 | 一维的弹性问题 |
释义 | 三、 三、 一维的弹性问题 本段只讨论柱体的扭转问题,因为它是用扭转率作为广义应变的.其他问题如杆的伸缩、梁的弯曲等可看作二维问题的简化而且与有限元法关系不大,从略. [圆柱的扭转] 圆柱的半径为R,圆柱的中心轴取作z轴,两端为z=0,z=l,体力不计.首先考虑只在两端截面受相反的力偶矩M(图19.24)而产生的扭转变形.一般可假定只有沿各横截面产生抗扭的剪应力而其余的分量 (i=1,2,3) 从物理方程可知它也是一种纯剪切变形。在圆截面上取极坐标也构成右手坐标系(图19.24) 对圆柱的扭转,还进一步假定 (i) (i) ,即各圆截面无轴向位移; (ii) (ii) 任一圆截面将绕圆心作微小的转动。 设转动角为ω(z),则ω(z)-ω(0)表示相对于端面z截面z=0的扭转角,而ω(l)-ω(0)就是柱体的总扭转角。一般可令ω(0)=0,即一端固定。 考虑半径为r在z与z+dz截面之间的环面,不难看出,由于相对扭转角dω而产生的直角改变量即剪应变 它是由环面上沿q 方向(或垂直于半径r)的剪应力作用的结果,依虎克定律 根据剪应力的对称性可得沿z截面的扭矩 式中就是截面对中心轴的惯矩。于是变形能可写成 因此,圆柱扭转问题的扭矩与扭转率可分别看作广义的剪应力与剪应变。系数称为柱体的抗扭刚度。对这问题,§1中B是微分算子,D是,待定函数就是广义的位移即扭转角ω(z)。 推广到一般情况。如果沿柱体每单位长度施加分布荷载即扭转,则平衡方程可写成 而其边界条件同样有三种支承形式: (i) (i) 几何约束 对柱端截面给定扭转角ω。例如 (ii) (ii) 荷载支承 对柱端截面施加一定的扭转。例如 或 (iii) (iii) 弹性支承 在柱端截面给定与扭角偏差成正比的弹性反矩。例如 或 式中为弹性耦合系数。 总势能的表达式 由于体力不计,对弹性支承的情况,变形能与外力势能可分别表示ω(z)的泛函形式: 若某端为荷载支承,可取该端,则表达式照旧;若某端(例如z=0)给定扭转角,则在上二式中含端点z=0的项都要去掉,而总势能的表达式可写成 [柱体的扭转] 同圆柱扭转一样,假定,体力与侧面的面力不计,只在两端施加力偶矩M,其扭矩的位移分量可写成 其中为扭转率,称为翘曲函数。 几何方程 物理方程 平衡方程 从可得 其中为柱体截面。 边界条件 设的边界的外法线的方向余弦为,由于柱侧面不受面力,从物理方程可得边界条件 根据,从平衡方程与边界条件可知其一般解的形式为(为任意常数)。a可由两端截面的力矩平衡条件来确定,例如从端面z=l的扭矩 可得出扭转率 于是,可看作位移,问题归结为求使总势能 达到极值的解。 |
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