单词 | 一元线性回归 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
释义 | 2、一元线性回归 [一元回归方程] 自变量x与变量y对应的观测值为
如果变量间存在着线性关系,则可用直线 来拟合它们之间的变化关系。由最小二乘法,a,b应使 最小值 得 式中
方程称为回归方程(或回归直线),b称为回归系数。 [相关系数及其检验表] 相关系数rxy反映了变量x和y之间的线性关系的密切程度,它是用下式定义 其中 (在不致误会时,rx y简记为r)。显然。当时,称为完全线性相关;当时,称全无线性相关;当越接近1,线性相关越大。 下表给出相关系数的起码值(它与观测次数n及所给信度有关),当大于表中相应的值,所配的直线才有意义。
注意,当观测次数n很大时 ,相关系数可用下述方法近似求得:将观测数对(xi , yi) (i=1,2,···,n)描在坐标纸上,先作一水平直线使位在直线的上下点数相等,再作一垂直线使左右点数相等,这两条直线(尽量使两直线上没有点)将平面分成四块(图16.5)设落在右上方,左上方,左下方,右下方的点数分别为n1 ,n2,n3 , n4,设 n+=n1+n3 =n2+n4
那末相关系数近似为 [剩余标准差]
称为剩余标准差,它描述回归直线的精度:对于试验范围的每个x,有95.4%的y值落在两条平行直线
之间(图16.6);有99.7%的y值落在两条平行直线
之间. [一元回归计算步骤] 为了方便计算,将lxx,lyy ,lxy改写成 并将数据整数化.即令
经整数化后,有 ,
于是列表计算如下:
[一元线性回归的方差分析] 将自变量x看作单因素,对每个xi(i=1,2,···,n)作k次重复试验得到数据yij(i=1,2,···,n; j=1,2,···,k),记录如下:
按照数对求出回归方程 y的总平方和为
记作
上述右边的S回称为回归平方和,它是由于x的变化使y也随之变化而引起的;S误称为误差平方和,它是由试验误差引起的;S余称为剩余平方和,它是由其他随机因素或回归直线配得不适当而引起的. 同单因素方差分析类似,作一元线性回归方差分析表如下:
检验时,若影响不显著,则表明剩余平方和基本上是试验误差等随机因素引起的;若影响显著,则表明可能存在另外不可忽略的因素,或者x与y不是直线相关,或者x与y无关。这时求出的回归直线不能刻划x与y之间的关系,需进一步查明原因,重新配线。 检验时,若影响显著,则表明x与y之间有线性关系;若影响不显著,则需重新配线。 S总,S回,S余,和S误按下列公式计算(可先将数据整数化, : S总= S回= S余= S误= S总回余 式中 |
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