2、一元线性回归

[一元回归方程]  自变量x与变量y对应的观测值为

如果变量间存在着线性关系，则可用直线

来拟合它们之间的变化关系。由最小二乘法，a,b应使

最小值

得

式中

方程称为回归方程（或回归直线），b称为回归系数。

[相关系数及其检验表]  相关系数r_xy反映了变量x和y之间的线性关系的密切程度，它是用下式定义

其中

（在不致误会时，r_{x y}简记为r）。显然。当时，称为完全线性相关；当时，称全无线性相关；当越接近1，线性相关越大。

   下表给出相关系数的起码值（它与观测次数n及所给信度有关），当大于表中相应的值，所配的直线才有意义。

   注意，当观测次数n很大时 ，相关系数可用下述方法近似求得：将观测数对(x_i , y_i) (i=1,2,···,n)描在坐标纸上，先作一水平直线使位在直线的上下点数相等，再作一垂直线使左右点数相等，这两条直线（尽量使两直线上没有点）将平面分成四块（图16.5）设落在右上方,左上方,左下方,右下方的点数分别为n₁ ,n₂,n₃ , n₄,设

n₊=n₁+n₃       =n₂+n₄

那末相关系数近似为                                                                        

[剩余标准差]

称为剩余标准差,它描述回归直线的精度:对于试验范围的每个x,有95.4%的y值落在两条平行直线

之间(图16.6);有99.7%的y值落在两条平行直线

之间.

[一元回归计算步骤]       为了方便计算,将lxx,lyy ,lxy改写成                                                                                     

并将数据整数化.即令

   经整数化后,有

            ,  

于是列表计算如下:

[一元线性回归的方差分析]  将自变量x看作单因素,对每个x_i(i=1,2,···,n)作k次重复试验得到数据y_ij(i=1,2,···,n; j=1,2,···,k),记录如下:

按照数对求出回归方程      

y的总平方和为

记作

上述右边的S_回称为回归平方和,它是由于x的变化使y也随之变化而引起的;S_误称为误差平方和,它是由试验误差引起的;S_余称为剩余平方和,它是由其他随机因素或回归直线配得不适当而引起的.

   同单因素方差分析类似,作一元线性回归方差分析表如下: 

   检验时，若影响不显著，则表明剩余平方和基本上是试验误差等随机因素引起的；若影响显著，则表明可能存在另外不可忽略的因素，或者x与y不是直线相关，或者x与y无关。这时求出的回归直线不能刻划x与y之间的关系，需进一步查明原因，重新配线。

   检验时，若影响显著，则表明x与y之间有线性关系；若影响不显著，则需重新配线。

   S_总,S_回,S_余,和S_误按下列公式计算（可先将数据整数化, ：

S_总=

S_回=

S_余=

S_误= S_总回余

式中