单词 | 代数数 |
释义 | §6 代数数 [代数数] 若q 为一系数为有理数的代数方程 的根,则q 称为代数数.通分后,q满足一有理整*系数的代数方程,因此代数数也可定义为“有理整系数的代数方程的根”. 若f(x)为有理数域上不可约多项式,且,则q 称为n次代数数.显然,一次代数数为有理数. 代数数具有下列性质: 1° 两个代数数的和、差、积、商(除数非零)仍为代数数. 2° 系数为代数数的代数方程的根仍为代数数. [代数整数] 若q 为一首项系数为1,其他系数为有理整数的n次不可约代数方程的根,则q 称为n次代数整数. 代数整数具有下列性质: 1° 代数整数为有理数的(即一次代数整数)必为有理整数. 2° 两个代数整数的和、差、积仍为代数整数. 3° 首项系数为1,其他系数为代数整数的代数方程的根仍为代数整数. 4° 若q 为代数数,即满足有理整系数方程 则 为代数整数. 5° 若q 为n次代数整数,则q 的幂可表为 式中i为非负整数,都为有理整数. 6° 若q 为n次代数数,则q 的幂满足等式 式中i为非负整数,为有理整数. [单位数] 若q 与都为代数整数,则q 称为单位数. 单位数具有下列性质: 1° q 为单位数的充分必要条件是:q 为首项系数为1,常数项为的有理整系数代数方程的根. 2° 首项系数和常数项都为单位数,其他系数为代数整数的代数方程的根为单位数. [代数扩域] 1° 单扩域 设q 为n次代数数,则形为 (系数为有理数) 的数的全体构成一个域.称为在有理数域Q上添加q所得的n次单扩域,记作Q(q ).若,则Q(q )为由代数数q 经加、减、乘、除(除数非零)所生成的数的最大集合. 2° 有限扩域 由有限多个代数数经加、减、乘、除(除数非零)所生成的域,称为Q上的有限扩域,记作 K=Q() 有限扩域必为单扩域,即存在代数数q ,使得 Q()=Q(q ) q的次数称为有限扩域Q()的次数. [共轭数] 设q 为n次代数数,q满足有理数域上n次不可约多项式 记,又设为该多项式的另外n-1个根,则称为q的共轭根. 任意代数数a Q(q ),则a可唯一地表为 (1) 式中为有理数.记,则
称为a 的共轭数. [代数数的迹与矩] 设a K=Q(q ),记,设是a 的共轭数,则分别称 为代数数a 的迹与矩,式中如(1)式定义. 注意,这里的迹与矩是对域K而言的,矩又称为范数.它们的另一个定义是:设a 的极小多项式(以a 为根的最低次不可约多次式)为 令,则 迹与矩具有下列性质: 1° 若a 为代数数,则a的迹与矩均为有理数. 2° 若a 为代数整数, 则a 的迹与矩为有理整数.若a 为非零代数整数,则. 3° 代数整数a 为单位数的充分必要条件是:. 4° S(a+b )=S(a )+S(b ) N(ab ) =N(a )N(b ) [代数数域的基底与整底] 1° 基底 设K为n次代数扩域,为K中一组代数数,若K中任意代数数g都可唯一地表为 式中为有理数,则称为K的一组基底.显然在有理数域上线性无关. 是域K的一组基底的充分必要条件是: 式中是的共轭数, j=. 若K=Q(q ),则为K的一组基底. 2° 整底 设K为n次代数扩域,为K中一组代数整数,若K中任意代数整数g 都可唯一地表为 式中为有理整数,则称为K的一组整底. 若为一组使 为最小的代数整数,则这组为一组整底. [二次域] 设D为一无平方因子的有理整数.则Q()为二次域.Q()中的任意代数数都可表为 式中a和b都为有理数. 设D为一无平方因子的有理整数. 则1,w 为二次域Q()的一组整底. 一般n次域Q不一定能找到代数整数w,使 构成Q(q )的一组整底. [高斯域] 设,则Q(i)称为高斯域,它是二次域. 高斯域中的任意数可表为 式中a,b都为有理数.当a,b都为有理整数时,a+bi称为高斯整数. 高斯域有四个单位数:,它们的矩都为1. [分圆域] 设m为正整数,把多项式的所有根添加到Q上所构成的域S称为Q上的m次单位根的分圆域. S中存在一个m次本原单位根q (q 是的根,但不是的根(n<m),称q为m次本原单位根),使得S=Q(q ),而构成S的一组整底. 如果q是m次本原单位根,使也是m次本原单位根,共有(m)个,这里(m)为欧拉函数. [分解定理] 1° 整除性 若a ,b 为二代数整数,当仍为代数整数时,则称b 可整除a ,记作.这时称a 是b 的倍数,b 是a 的因数. 2° 结合性 若二代数整数a ,b 仅相差一单位数因子,则称a 与b 是相结合的. 显然有: (i) a 与a 相结合;(ii) 若a 与b 相结合,则b 与a 相结合;(iii) 若a 与b 相结合,b 与g 相结合,则a 与g 相结合. 3° 不可分解 若K中的代数整数a ,有另外两个代数整数b ,g K,且都不是单位数,使 a =bg 则称a 在域K中可分解,否则称为不可分解. 4° 分解定理 在K中的任意一代数整数可以分解为不可分解的代数整数的乘积. 如果不计次序和结合性,这种分解是唯一的,则称为唯一分解. 高斯域的唯一分解定理成立. 二次域中唯一分解定理成立的,现已知道有 Q(), D=2,3,5,6,7,13,17,21,29等. 不是所有的二次域唯一分解定理都成立,例如Q()唯一分解定理不成立: |
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