十、微分的应用（I）— 函数的极值
1．单变量函数的极值
[极值（极大值或极小值）]若函数f (x)在点x0的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域0<|x-x0|<δ内的一切点x，下面不等式成立：
f (x)<f (x0) (或f (x)>f (x0))
则称函数f (x)在点x0处有极大值（或极小值）.
[极值存在的必要条件]假定函数f (x)在区间(a,b)内存在有限导数.若在点x0(∈(a,b))处函数有极值，则必有
=0 (1)
所以可微函数的极值只能在使(1)式成立的点达到，这种点称为稳定点.
[极值存在的充分条件]
第一法则 若函数f (x)满足条件：（i）在点x0的某邻域|x-x0|<δ内有定义并且连续，且在点x0处，
=0或不存在，（ii）在范围0<|x-x0|<δ内有有限的导数
，（iii）
在点x0的左右两侧有固定的符号，则函数f (x)在点x0有无极值见下表：
| x | x < x0 | x 0 | x> x0 | f (x) |
|
| + — + — | 0 | — + + — | 极大值 极小值 上升 下降 |
第二法则 若函数f (x)有二阶导数
,并且在点x0处下列条件成立：
=0及
≠0
则函数f (x)在此点有极值，当
<0时，有极大值；当
>0时，有极小值.
第三法则 设函数f (x)在某邻域|x-x0|<δ内有导数
,
，且
=0 （k=1,
）
≠0
若n为偶数，则函数f (x)在点x0处有极值（当
<0时有极大值，当
>0时有极小值）;若n为奇数，则在点x0处无极值.
以上介绍的单变量函数的极值求法中，求稳定点时最后都归结为求方程
=0
的实根.有时上述方程的实根不易求得，就要求近似根.关于实根的近似计算法可参考第三章，§4.