二、       二、    点集的基本拓扑概念

    [内部·外部·边界·包]  假定S是拓扑空间X=<D,τ>里的一个点集，也就是SD，那末相对于S可以把X里的点分为三类：

1°      1°  内点与内部.如果对一点x存在一个开集V，使xVS，那末称x为S的内点.

    S的所有内点的全体，称为S的内部，记作N（S），S的内部是S的子集.

2°      2°  外点与外部.S的余集D\\S的内点称为S的外点.

    S的所有外点的全体称为S的外部，S的外部是S的余集的子集.

    3^o  边界点与边界.既不是S的内点也不是S的外点的点称为S的边界点.

    S的边界点的全体称为S的边界，记作B（S）.

    S∪B(S)称为S的包，记作=S∪B（S）.

   它们之间的基本关系如下：

   点集S的边界同时也是S的余集的边界.

   点集S的包的余集就是S的外部；S的余集的包的余集就是S的内部.

   点集S的包就是S的内部和S的边界的和集，也就是说=S∪B（S）=N（S）∪B（S）；注意，一般和不一定相等，也就是=N(S)∪B（N(S)）不一定成立.

    [处处稠密与无一处稠密]  假定P和Q是一个拓扑空间里的点集，，那末称P在Q里处处稠密.假定P的外部在Q里处处稠密，那末称P在Q里无一处稠密.注意，这里“P的外部”不能换成“P的余集”.

   例如，有理数全体在一维实数空间R¹里处处稠密.无理数全体在R¹里也是处处稠密.整数全体在R¹里无一处稠密.一个不空区间（a，b）在R¹里既不处处稠密也不无一处稠密.

    [开集与闭集]  一个拓扑空间<D,τ>里的开集的概念是基本的（本节，一），一个开集的余集称为闭集.

1°      1°  点集S为开集的充分必要条件是：S等于它的内部，或者说S的每个边界点都不属于S.

2°      2°  点集S为闭集的充分必要条件是：S等于它的包，或者说S的每个边界点都属于S.

3°      3°  点集S既是开集又是闭集的充分必要条件是：S的边界是空集.例如φ和D都是既开又闭的.

4°      4°  点集S不是开集也不是闭集的充分必要条件是：B（S）∩S¹φ并且B（S）∩S¹B（S）.

   例如在R¹里，不空的区间（a，b）开而不闭，半闭区间（a，b]不开不闭，闭区间[a，b]闭而不开，有理数全体不开不闭，无理数全体不开不闭，整数全体闭而不开，R¹既开又闭.

   此外，由闭集的定义得到三个跟开集相对偶的性质：

1°      1°  φ是闭集，D是闭集；

2°      2°  任何一族闭集的通集是闭集；

3°      3°  任何有限个闭集的和集是闭集.

    [孤立点、聚点与导集]假定S是拓扑空间里的一个点集，一点xS并且x有一个邻域G使G∩S={x}，那末称x为S的孤立点.

   假定y（表示S的包），但y不是S的孤立点，那末称y为S的聚点.

   一点y是点集S的聚点的充分必要条件是：对y的任何一个邻域L，（L\\{y}）∩S¹φ.

   由定义知道，一个点集S的任何一个孤立点一定是S的边界点，而一个点集的任何一个内点一定是S的聚点，但是倒过来说显然不行.

    S的聚点的全体也称为S的导集，记作S'.S的包可以表示为：

                 =S∪S'=（S的孤立点的全体）∪S'

    [孤立点集、自密集与完全集]  对一个拓扑空间里的任何一个点集S，这空间里的全部点可以分为三类：S的外点，S的孤立点，还有S的聚点.聚点包括S的内点和不孤立的边界点.

   没有聚点的点集称为孤立点集（分散点集），因为它的诱导拓扑一定是分散拓扑.

   没有孤立点的点集S（就是SS'）称为自密集.特别如果S自密并且闭，那末S称为完全集.因为S为闭集的充分必要条件是：S'S，所以S是完全集的充分必要条件是：S=S'.