三、迭代法

把方程f(x)=0表成它的等价形式

x=j (x)

或一般地

f₁(x)=f₂(x)

式中f₁(x)是这样一个函数：对任意实数c，能容易算出方程f₁(x)=c的精确度很高的实根.如果对任意，下式成立：

则下面迭代过程是收敛的.

       首先从一个近似根x₀出发（x₀可由图解法粗略估计出），代入方程右边，解方程

f₁(x)=f₂(x₀)

得到第一个近似根x=x₁，再解方程

f₁(x)=f₂(x₁)

得到第二个近似根x=x₂，L,类似地由第n个近似根x_n，解方程

f₁(x)=f₂(x_n)

得到第n+1个近似根x=x_n+1，于是得到一系列不同精确度的近似根

x₀,  x₁,  x₂,L, x_n,L

它收敛于方程的根ξ（图3.3）.

       收敛速度（即误差消失速度）与aⁿ相当，而

a

       用

代替x₂可加速收敛.式中Dx₁=x₂－x₁为x₁的一阶差分，D²x₀=Dx₁－Dx₀为x₀的二阶差分.

       对于方程x=j (x)，只要j(x)在[a,b]上连续，且q<1，那末，它的根可由

x₁=j (x₀)

x₂=j (x₁)

LLLL

x_n+1=j (x_n)

来接近（图3.4）.