单词 | 对称原理与多边形映射 | ||
释义 | 四、对称原理与多边形映射 [对称原理] 设和是平面上关于它们公共边界(一段圆弧)对称的两个区域,而和是平面上关于它们公共边界(一段圆弧)对称的两个区域. 如果函数满足下列条件:(i)将保角映射到;(ii)在上连续,将单叶映射到.那末存在一个函数具有性质: 1o 把区域保角映射到区域. 2o 在内,. 3o 将区域内关于对称的两点映射到区域内关于对称的两点. [多边形映射] 多边形映射是把半平面映射到一个多边形的映射. 设平面实轴上有个点,平面上一边形,顶点是,在点处的顶角是,那末施瓦兹-克里斯托弗尔积分
是三个常数)把平面的上半平面映射到已给边形内部, 平面实轴上的个点分别映射到平面的边形的个顶点(图10.4). 如果平面的无穷远点(设)与边形一个顶点(设)对应,那末映射简化成 例 求矩形映射把平面的上半平面映射到平面上的一个矩形的内部(图10.5).
解 首先考虑平面的第一象限映射到矩形内部的右半部分.同时让的原象记为.把这个映射关于轴的正半轴应用对称原理,就有,同时根据施瓦兹-克里斯托弗尔积分,所求的映射就是 由于,所以,又由于.所以 (1) 即 (2) 设 常数已知,适当选择矩形的长和宽(即和),使(1)、(2)式中的常数. 这是第一类椭圆积分(第十二章§1,十). |
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