单词 | 仿射坐标系 |
释义 | §3 仿射坐标系 一、 一、 仿射坐标系与度量系数 [仿射坐标] 在三维欧氏空间 a=ax i+ay j+az k 一般地,在空间中给定了三个不共面的矢量e1,e2,e3,则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解,令其系数为a1,a2,a3(这里1,2,3不是指数,而是上标)则a可表示为 a=a1e1+a2e2+a3e3 或简计作* a=a1,a2,a3={ ai} 这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系,e1,e2,e3称为坐标矢量,a1,a2,a3称为矢量a的仿射坐标. [欧氏空间中度量系数] 当矢量a写成上面的形式时,则它的长度a由 (a)2=(aiei)(ajej)=(eiej)aiaj 给出.令 eiej=gij(=gji) (i,j=1,2,3) 则称gij为仿射坐标系的度量系数. 1 矢量a的长度由 (a)2=gijaiaj 计算. 2 两个矢量 a=aiei,b=bjej 的夹角由 cos= 计算. 3 因为gijaiaj是正定二次型,所以由gij所作的行列式 混合积 (e1,e2,e3)2= =g (e1,e2,e3)= [克罗内克尔符号] 对称矩阵 的逆矩阵用 来表示.由逆矩阵的性质,有gij=gji和 gikgkj= 式中 = 称为克罗内克尔符号. [互易矢量] 利用这个gij规定 ei=gijej 因而有 ej=gijei eiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk= eiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gil=gij 对e1,e2,e3,可以得到 e1=(e2×e3), e2=(e3×e1), e3=(e1×e2) e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量. gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数. |
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