单词 | 平方可积函数 |
释义 | 3、 3、平方可积函数 [L2空间] 若S是有界可测集,f(x)为S上的可测函数,可积,并且 则称为属于空间的函数,记作,或简写为. 在本段中,假定S就是区间. 若,,则都是可积的;并有 [模与距离] 设,则称 为f的模(范数). 设则称 为f与g的距离. 设则 (i) ,只当几乎处处成立时, (ii) (iii) [平均收敛] 若并且 则称函数序列在内收敛或平均收敛,且其极限为,记作 平均收敛有以下性质: 1o若,则 在上几乎处处成立. 2o若,则 3o若,则 4o中点列平均收敛的充分必要条件是它为基本序列. 基本序列的定义如下:设,若对任意总有正整数N,对一切,使得 则称为中的基本序列. 由此可见是完备空间(见第二十一章,§4,一). [空间的可分性] 1o设,则对任意,总有连续函数,使 2o设,则对任意,总有系数为有理数的多项式,使 因为所有系数为有理数的多项式组成一个可数集合,并在中处处稠密. 所以2o表明为可分空间(见二十一章,§3,三). |
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