单词 | 场论的基本概念及梯度、散度与旋度 |
释义 | §2 场论初步 一、 一、场论的基本概念及梯度、散度与旋度 [标量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个数量值(x,y,z),它在此空间区域D上就构成一个标量场,用点M(x,y,z)的标函数(x,y,z)表示.若M的位置用矢径r确定,则标量可以看作变矢r的函数=(r). 例如温度场u(x,y,z),密度场,电位场e(x,y,z)都是标量场. [矢量场] 空间区域D的每点M(x,y,z)对应一个矢量值r(x,y,z),它在此空间区域D上就构成一个矢量场,用点M(x,y,z)的矢量函数r(x,y,z)表示.若M的位置用矢径r确定,则矢量r可以看作变矢r的矢函数r(r): R(r)=X(x,y,z)i+Y(x,y,z)j+Z(x,y,z)k 例如流速场 (x,y,z),电场E(x,y,z),磁场H(x,y,z)都是矢量场. 与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念,实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义. [梯度] grad=(,,)==i+j+k 式中=i+j+k称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad有的书刊中记作del. grad的方向与过点(x,y,z)的等量面=C的法线方向N重合,并指向增加的一方,是函数变化率最大的方向,它的长度等于. 梯度具有性质: grad(+)= grad+grad (、为常数) grad()= grad+ grad gradF()= [方向导数] =l·grad=cos+cos+cos 式中l=(cos,cos,cos)为方向l的单位矢量,,,为其方向角. 方向导数为在方向l上的变化律,它等于梯度在方向l上的投影. [散度] divr=++=·r=div(X , Y , Z) 式中为哈密顿算子. 散度具有性质: div(a+b)= diva+divb (、为常数) div(a)=div a+a grad div(a×b)=b·rot a-a·rotb [旋度] rotr=()i+()j+()k=×r= 式中为哈密顿算子,旋度也称涡度,rot r有的书刊中记作curl r. 旋度具有性质: rot(a+b)= rot a+rot b (、为常数) rot(a)=rot a+a×grad rot(a×b)=(b·)a-(a·)b+(div b)a-(div a)b [梯度、散度、旋度混合运算] 运算grad作用到一个标量场产生矢量场grad,运算div作用到一个矢量场 r产生标量场div r,运算rot作用到一个矢量场r产生新的矢量场 rot r.这三种运算的混合运算公式如下: div rot r=0 rot grad=0 div grad= ++= grad div r=(r) rot rot r=×(×r) div grad(+)= div grad+div grad (、为常数) div grad()=div grad+div grad +2grad·grad grad div r-rot rot r=r 式中 为哈密顿算子,=·=2为拉普拉斯算子. [势量场(守恒场)] 若矢量场r(x,y,z)是某一标函数(x,y,z)的梯度,即 r=grad 或 X=,Y=,Z= 则r称为势量场,标函数称为r的势函数. 矢量场r为势量场的充分必要条件是:rot r=0,或 =,=,= 势函数计算公式 (x,y,z)=(x0,y0,z0)++ + [无散场(管形场)] 若矢量场r的散度为零,即div r=0,则r称为无散场.这时必存在一个无散场T,使r=rot T,对任意点M有 T= 式中r为dV到M的距离,积分是对整个空间进行的. [无旋场] 若矢量场r的旋度为零,即rot r=0,则r称为无旋场.势量场总是一个无旋场,这时必存在一个标函数,使r=grad,而对任意点M有 =- 式中r为dV到M的距离,积分是对整个空间进行的. |
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