3. 由方程组所确定的隐函数
对由方程组
(1)
所确定的隐函数有下述定理:
[存在定理] 设函数F(x,y,z)及G(x,y,z)在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域R内定义,并且满足下列条件:
(i) F(x,y,z),G(x,y,z)及其所有偏导数都在R内连续,
(ii) F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0,
(iii) 行列式
J(x,y,z)=
在点P0(x0,y0,z0)不等于零:J(x0,y0,z0)≠0.
那末在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域
;
;
)
内有唯一的一组单值函数y=f(x),z=g(x)存在,具有下列性质:
1° F[x,f(x),g(x)]≡0,G[x,f(x),g(x)]≡0,且f(x0)=y0,g(x0)=z0,
2° 在区间(
)内函数f(x),g(x)连续,
3° 在这区间内有连续导数
.
[导数的计算] 将y和z看作x的隐函数,将方程组(1)对x微分得
这是关于
及
的线性方程组,其行列式J≠0,由此可以解出
及
.
注意,对于由方程组
所确定的隐函数有类似的结果.