三、一阶拟线性方程

   一阶拟线性方程为

其中a_i及R为x₁ , x₂  x_n , u的连续可微函数且不同时为零.

   [一阶拟线性方程的求解和它的特征方程]

或

为原拟线性方程的特征方程.如果曲线l: x_i = x_i (t) ( i=1,2n ) , u = u(t)满足特征方程，则称它为拟线性方程的特征曲线.

   设 _i ( x₁ x_n,u )  ( i =1,2 n) 为特征方程的n个相互独立的初积分，那末对于任何连续可微函数，

( ₁ ( x₁x_n , u) , ₂ ( x₁x_n ,u)  _n ( x₁x_n ,u) ) = 0

都是拟线性方程的隐式解.

   [柯西问题] 考虑方程的柯西问题

为已知的连续可微函数.

   设₁ ( x₁ , x₂  x_n , u)  _n ( x₁ , x₂  x_n , u) 为特征方程的n个相互独立的初积分，引入参变量, 从

解出 x₂  x_n , u

则由

给出柯西问题的隐式解.