二、一阶线性方程

   1．   一阶齐次线性方程

   [特征方程 特征曲线 初积分(首次积分)] 给定一阶齐次线性方程

                     (1)

式中a_i为连续可微函数，在所考虑的区域内的每一点不同时为零(下同).方程组

      ( i =1,2n)          

或

                (2)

称为一阶齐次线性偏微分方程的特征方程.如果曲线l: x_i = x_i (t) ( i=1,2n )满足特征方程(2)，就称曲线l为一阶齐次线性方程的特征曲线.

   如果函数( x₁ , x₂ x_n )在特征曲线上等于常数，即

( x₁(t) , x₂(t)  x_n(t) ) = c

就称函数 ( x₁, x₂x_n )为特征方程(2)的初积分(首次积分).

   [齐次方程的通解]

   1^o  连续可微函数u= ( x₁, x₂x_n )是齐次线性方程(1)的解的充分必要条件是：( x₁, x₂x_n )是这个方程的特征方程的初积分.

   2^o  设_i ( x₁ , x₂  x_n )  ( i = 1,2 n) 是特征方程(2)在区域D上连续可微而且相互独立的初积分(因此在D内的每一点，矩阵

的秩为n)，则

u = ( ₁ ( x₁ , x₂  x_n )  _n-1 ( x₁ , x₂  x_n ) )

是一阶齐次线性方程(1)的通解，其中为n个变量的任意连续可微函数.

   [柯西问题] 考虑方程的柯西问题

式中 ( x₂  x_n )为已知的连续可微函数.

   设_i ( x₁ , x₂  x_n )  ( i = 1,2 n) 为特征方程的任意n个相互独立的初积分，引入参变量  ()，从方程组

解出x₂  x_n 得

则柯西问题的解为

u = ( ₂ ( ₁ , _{2  n-1} )  _n ( ₁ , _{2  n-1} ) )