单词 | 矢量微分 |
释义 | 二、 二、 矢量分析 1.矢量微分 [矢函数] 对于自变量t(标量)的每一个数值都有变动矢量a的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应,则变(矢)量a称为变量t的矢函数,记作 a=f(t) 矢函数也可表为 a=axi+ayj+azk 式中 ax=fx(t),ay=fy(t),az=fz(t) 为三个标函数. 若把变动矢量表成点M的矢径形式 r=r(t) 则当t变动时,点M在空间中描出一条曲线,称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定: r =xi+yj+zk x=x(t),y=y(t),z=z(t) [矢函数的极限与连续性] 若对任意给定的>0 , 都存在数>0,使得当|t-t0|<时 |r(t)-r0|< 成立,则称r0为矢函数r(t)当tt0时的极限,记作 = r0 若存在,则 =i+j+k 若 = r(t0),则称矢函数r(t)在t=t0处连续. [矢函数的导数与微分] 如果极限 存在,就称它为矢函数a=f(t)的导数,记作.矢函数a=f(t)的导数仍为矢函数,从而还可求它的导数,即二阶导数,记作,等等. da=dt 称为矢函数a=f(t)的微分. [矢函数求导公式] =0 (c为常矢量) (ka)=k (k为常数) (a+b+c)= (a)=a+ (是t的标函数) (a·b)=·b+a· (顺序可以交换) (a×b)=×b+a× (顺序不可以交换) (abc)=( bc)+(ac)+(ab) (顺序不可以交换) a [(t)]= (是t的标函数,这是复合函数的求导公式) [矢径形式的矢函数求导公式] 设 r=r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k 表示矢函数的矢端曲线,则 1 ==i+j+k 表示矢端曲线的切线矢量(图8.10),指向t增加的方向,式中=, =, = 2 = t 式中s为矢端曲线的弧长,t为切线的单位矢量. 3 =i+j+k 式中=,=,= [矢函数的泰勒公式] r(t+t)=r(t)+(t)t+(t)(t)2+···+r(n)(t)(t)n+rn(t)n+1 式中 rn=x(n+1)(t1)i+y(n+1)(t2)j+z(n+1)(t3)k (t < t1 , t2 ,t3 < t+t) r(n)(t)= x(n)(t)i+y(n)(t)j+z(n)(t)k x(n)=, y(n)=, z(n)= [矢量函数的几个常用性质] 1 定长矢量r(t)(t),反之也真.从而切线的单位矢量t的导数与原矢量垂直. 2 定向矢量r(t)//(t),反之也真. 3 一个变动矢量r(t)平行于一个定平面的充分必要条件是:混合积 ()=0 |
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