3、初等解析函数

[有理函数]

式中P(z)和Q(z)没有公因式，R(z)在Q(z)的零点上取值∞，那末R(z)在扩充平面上连续.

当n>m, R(z)在∞处有一个n-m阶零点；当n<m, ∞是R(z)的m-n阶极点（§4，一，3）；当n=m,有

   在扩充平面上，有理函数的零点的个数（包括∞是零点在内）等于极点的个数，它等于m与n中较大的一数，有理函数的阶数就用它来定义.因此，一个k阶的有理函数R(z)有k个零点和k个极点，同时每个方程R(z)=a（a是任一常数）有k个根（几重根就算几个根）.

    时的有理函数就是常用的分式线性函数（§2，二与三）.

   [幂函数及其反函数]

   1^o  幂函数整数)在全平面上单值解析,它把扩充z平面映射到扩充ω平面,而且,∞分别映射到,∞,这个函数在全平面上是多叶函数.

  设

  则

   函数把从原点出发的半直线映射成从原点出发的半直线,把从原点为圆心的圆周映射成以原点为圆心的圆周,把z平面上的角状区域

   映射成ω平面上除去半直线的裂缝区域,在上面的角状区域内,函数是单叶解析的,这样的区域称为函数的单叶性区域，z平面只能分成n个单叶性区域.

   2^o  函数,整数)在全平面(ω平面)上是多值函数,因为

所以每个不等于0和的，在平面上有个点和它对应，并且这个点分布在圆的一个内接正边形的顶点上.

   函数有n个分支

或者说是n值函数.

   [指数函数与对数函数]

   1^o  指数函数

是全平面上的单值解析函数,在全平面上没有零点，是周期函数,周期是,即.当z沿实轴趋于时, ,当z沿实轴趋于时,.所以,当没有极限, 不能定义于扩充平面.

    设 ,则

   函数把直线映射成射线;把线段,映射成圆周;把带状区域映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域;把带状区域映射成上半平面;把一切带状区域

映射成ω平面上除去正实轴的裂缝区域.所以,指数函数在全平面上是多叶函数.

   2^o  对数函数

的表达式是

由于是无限多值的,所以对数函数是无限多值函数,并且对应同一ω值的任意两个函数值相差的整数倍.设对数函数的主值是

那末

   带状区域

和

都是函数的单叶性区域,它们有无穷多个,所以函数有无穷多个分支,或者说是无穷多值函数.

   [三角函数与反三角函数]

1^o  正弦函数和余弦函数分别由下式定义:

和是全平面上的单值解析函数,并且有周期,所以是多叶函数.

   2^o  正切函数和余切函数分别由下式定义:

在全平面上除去的点外是解析的;在全平面上除去的点外是解析的.它们都是以为周期的周期函数.

    平面三角学的一切三角公式对于复的三角函数都适用.必须注意,在复平面上与不再成立，例如,.

3^o  反余弦函数通过解方程

得到

   类似地,有

反三角函数是无穷多值函数.它们的主值只要在各式右端把换成(对数的主值)即可.

   [双曲函数与反双曲函数]

1^o  双曲函数的定义是:

2^o  双曲函数与三角函数的关系:

3^o  反双曲函数的定义是:

                   

反双曲函数是无穷多值函数，它们的主值只要在上面各式中将换成即可.