单词 | 常系数线性微分方程组 | ||||||||||||
释义 | 2. 常系数线性微分方程组微分方程组 (3) 称为常系数线性微分方程组,式中aij是常数.当fi(t)≡0 (i=1,2,…,n),称(3)为齐次的,当fi(t)不全恒等于零,称(3)为非齐次的. [特征根与齐次方程组的线性无关解]是λ的n次代数方程,它称为非齐次线性微分方程组(3)所对应的齐次线性微分方程组的特征方程,特征方程的根称为特征根. 根据特征根的不同情形,给出齐次线性微分方程组线性无关解的不同形式.
[用常数变易法求非齐次方程组的特解] 非齐次线性微分方程组(3)的一个特解,可由对应的齐次线性微分方程组的通解利用常数变易法求得.设y11,y21,…,yn1;y12,y22,…,yn2;…;y1n,y2n,…,ynn是对应的齐次线性微分方程组的n个线性无关解.那末非齐次线性方程组的一个特解y1*,y2*,…,yn*可由下列形式确定 式中ci(t)是待定函数,它们满足下列方程组: 从上面方程组解出,再积分就得出所要求的ci(t) (i=1,2,…,n) 例 求解微分方程组: (1) 解 先求对应的齐次线性微分方程组 (2) 的通解.由特征方程 可知特征根为λ=5,.则相应的线性无关解是如下形式:
分别代入齐次线性方程组(2),利用待定系数法,确定出 A1=c1 , A2=2c1, (c1 是任意常数) B1=c2 , B2= , (c2 是任意常数) 所以齐次线性方程组 (2)的通解为 (c1 ,c2是任意常数) 其次,利用常数变易法求非齐次线性方程组(1)的一个特解.把c1 ,c2看成是t的函数,解下列方程组 得 积分后,取 于是所求方程组(1)的通解是 式中c1 ,c2为任意常数. |
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