单词 | 测度与可测函数 |
释义 | §7 泛函分析初步 一、一、勒贝格积分 1、 1、测度与可测函数 [测度与可测集] 设S为某一区间内的任一有界点集,则把覆盖S的一组区间的长度之和的下确界称为S的外测度,记作. 包含S的任一有界区间的长度与S关于的余集(即内不属于S的点的全体)的外测度之差称为S的内测度,记作. =的集S称为可测集,其测度记作. 设S为直线上的一个无界点集,若对一切大于零的x,是可测的,则称这个无界点集S是可测的. 在这种情形下,定义无界点集S的测度为 这里可以有限或无限. 每个有界开集都是可测的. 可测集的概念可以推广到n维空间的点集上去. [几乎处处] 若一个性质对区间上除了一个测度为零的集合之外,在其他点都成立,则称这个性质在已知区间上几乎处处成立. [可测函数] 设函数在可测集S上定义,而c是任意实数. 若在S上使的一切点x所构成的集是可测的,则称函数为在S上的一个可测函数. 在这个定义中,条件可用,,中任一条件来代替. 在内任一连续函数是内的可测函数. 若都是内的可测函数,则(a为常数),和(极限存在)也都是内的可测函数. |
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