单词 | 对偶空间与对偶映射 |
释义 | 三、对偶空间与对偶映射 [数量积与对偶空间] 设V和是两个实(复)线性空间. 若对任意一对矢量确定了一个数量,并满足下列条件: (i) (i) (ii) 对一个固定的和一切,若则;反之,对一个固定的和一切,若则.则称函数为数量积. 若,则称是正交的. (ii)表明,一个空间中一个矢量与另一个空间中一切矢量正交,只当它是零矢量时才成立. 定义了数量积的两个线性空间称为对偶空间. 对偶空间的维数相等. [对偶基底] 若V和的两个基底和满足关系式: 则称它们为对偶基底. V和是对偶空间,则对于V的一个已知基底,恰有一个对偶基底. [正交补空间] 设是V的一个子空间,则空间V中与的一切矢量都正交的矢量组成的集合是V的一个子空间,称为的正交补空间,记作. 正交补空间有以下性质: 1o空间和的维数之和等于空间V的维数,即 2o 3o若,则;而且和是一对对偶空间,和也是一对对偶空间. [共轭空间] 设V是域F上的线性空间,若对,在F上有唯一的一个数与对应,则称这个对应关系为定义在V上的一个函数. 函数 若对任二矢量与任意,都有 则称为线性函数,又称为线性泛函. 令,则有,因此又称线性函数为线性齐次函数或线性型. V中线性函数的集的两个函数,的和与数乘按通常的方式定义如下: 则构成一个线性空间,称为V的共轭空间,的零矢量是一个恒等于零的函数. 可以证明和V是一对对偶空间,若{}是V的一组基底,则由下列方程定义的函数为的一个基底: 因而{}又是{}的共轭基底. [对偶映射] 设V,与W,是两对对偶空间;若两个线性映射: 与 对于一切与一切,都有 则称L,为对偶映射. 对偶映射有以下性质: 1O对一个已知的线性映射,恰有一个对偶映射. 2O对偶映射L和的秩相等. 3O一个矢量包含在象空间中的充分必要条件是:与核中的一切矢量正交. |
随便看 |
数学辞典收录了524条数学词条,基本涵盖了常用数学知识及数学英语单词词组的翻译及用法,是数学学习的有利工具。