5、二元线回归

[回归方程]  对应自变量x₁与x₂的值的值为，于是得到n个点，其回归方程为

式中为回归系数，它由下面方程决定：

这里    

而其中是为了简化计算所作的数据变换（不需整数化），即

（1）式中的常数项

[复相关系数和偏项关系数]

称为复相关系数，式中

这里如(2)所示。复相关系数R满足，其意义与一元线性回归分析中的相关系数r类似，用于衡量y与x₁ , x₂的线性关系的密切程度。

    如果只要表示y与其中某一个变量(x₁或x₂)的相关关系，那末必须除去另一个变量的影响之后再计算它们的相关系数，这称为偏相关系数。x₁,y在除去x₂的影响之后的相关系数称为x₁,y对x₂的偏相关系数，记作，它可用普通的相关系数表示：

同样的，对的偏相关系数表为

[剩余标准差]

称为剩余标准差，其意义同一元线性回归分析中的剩余标准差s类似。

[标准回归系数与偏回归平方和]  在两因素x₁ , x₂之间关系不密切的情况下，可用下述方法判断哪个因素是主要的。

1^°                           

称为标准回归系数，式中b₁,b₂为回归系数，l₁₁, l₂₂如（2）所示, l₀₀如（4）所示。若，则表明在影响变量的两个因素中，x₁是主要因素，x₂是次要因素。

   2^°                       

称为偏回归平方和，式中b₁ ,b₂为回归系数，l₁₁,l₁₂,l₂₂如(2)所示。若p₁>p₂，则表明是x₁主要因素，x₂是次要因素。

[t值]

分别称为x₁ ,x₂的t值，式中s为剩余标准差，p₁ ,p₂为偏回归平方和。若t值越大，则表明该因素越重要。根据经验，当 t_i>1时，该因素x_i对y有一定的影响；当t_i>2时，该因素x_i看作是重要因素；当t_i<1时，则认为该因素x_i对y影响不大，可以忽略，不参加回归计算。

[二元线性回归计算表]  表中x _{k i}为简化后的数据。

由，根据（2）（3）分别计算出，得到回归方程

并且继续计算复相关系数R，标准回归系数B₁和B₂ ,偏回归平方和p_{1 ,}, p₂，以及t值t₁和t₂，根据这些数据进行二元回归的分析。

   关于二元非线性回归问题，可做适当的变量替换，使新变量之间构成线性关系，再作回归分析。