单词 | 泛函的变分与泛函的极值 |
释义 | §5 变 分 法 一.泛函的变分与泛函的极值 [类函数与曲线的邻域] 有连续导数的函数称为类函数,有阶连续导数的函数称为类函数. 曲线的邻域是指在整个区间内满足不等式 的一切可能的曲线,这时称曲线与曲线有零级接近度.如果此外还满足不等式:,则称曲线与曲线有一级接近度,其中. [泛函] 如果对某一类函数中的每个函数,有一个的值与之对应,那末变量称为依赖于函数的泛函,记作. [函数的变分] 所谓泛函的变量的变分是指两个函数间的差:,其中是与属于同一函数类的某一函数. [泛函的变分] 如果泛函的改变量 可以表为如下的形式 其中对来说是线性的,且当时,,那末称为泛函的变分,记作.并有 [泛函的极值]若泛函在与接近的任一曲线上的值不小于,即时,则泛函在曲线上达到极小值.类似地可以定义极大值. 如果具有变分的泛函在上达到极小(极大)值,则在上有 泛函的极值问题就是寻求函数,使泛函的值达到最小(或最大). 对于依赖于多个未知函数的泛函 v[y1(x), y2(x),¼ ,yn(x)] 和依赖于多变量的一个或多个函数的泛函 v[z(x1,x2,¼ ,xn)] 或 v[z1(x1,x2,¼ ,xn),z2(x1,x2, ¼ ,xn),¼ ,zn(x1,x2,¼ ,xn)] 有类似的说法. |
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